Родился в 1925 году в селе Ровенка (ныне Добринский район Липецкой области) в семье рабочего. После окончания школы работал в колхозе «Красный Октябрь».
В армию был призван в 1943 году наводчиком орудия 295–го отделения истребительно–противотанкового дивизиона 126–ой стрелковой дивизии, 43-ей армии, 3-го Белорусского фронта.
В мае 1944 года в боях за освобождение Севастополя его орудийному расчету была дана задача – не дать вражеским кораблям уйти в море. Прямой наводкой орудие Чиркова подожгло корабль противника с живой силой. Позже он затонул, а боец Чирков получил орден Славы III степени.
Рядовой Чирков отличился 7 апреля 1945 года при штурме форта № 5 в Кенигсберге. Под сильным огнем орудий противника с короткой дистанции Федор Тихонович вел меткий огонь по амбразурам дота, а затем подполз к нему и бросил внутрь две противотанковые гранаты. Своими действиями он способствовал взятию форта, гарнизон которого насчитывал 200 человек. Во время этих боев Федором Тихоновичем было уничтожено 15 огневых точек. Противник решил смять нашу артиллерию танками, которые двинулись на позиции дивизиона. В жестоком единоборстве вновь отличился боец Чирков, он уничтожил семь танков. В бою Федор Тихонович был ранен, но продолжал вести огонь. Только после боя его отправили в госпиталь, где он узнал о Победе над фашистской Германией.
За отвагу и мужество, проявленные при взятии Кенигсберга, указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 апреля 1945 года Чиркову Федору Тихоновичу было присвоено звание Героя Советского Союза.
После войны Чирков демобилизовался, вернулся на родину, где работал преподавателем физкультуры в Ровенской школе, а затем в колхозе «Красный Октябрь». В 1979 году Федор Тихонович умер. Его могила находится на кладбище села Ровенка.
На Аллее Героев в поселке Добринка установлен бюст Ф. Т. Чиркова. В селе Ровенка на памятнике Защитникам Отечества размещена мемориальная доска, посвященная герою-земляку, также на доме, где жил Федор Тихонович, размещена мемориальная доска.